Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + 3$

Этап 1

Приравняем $2 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + 3$ к $0$ .

$2 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + 3 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{3} - 3 x + 2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 3 x + 2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 3$ .

$x (x^{2} - 3) + 2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Запишем $- 7$ как $- 1$ плюс $- 6$

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3 = 0$

Этап 2.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3 = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3 = 0$

Этап 2.1.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x^{2} - 3) + u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Этап 2.1.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$x (x^{2} - 3) + (2 u - 1) (u - 3) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) x + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $(2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) x + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $(x^{2} - 3) x + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 3) (x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} - 3) (u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.1

Умножим на $1$ .

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.2.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} - 3) ((2 u^{2} - 1 u) + 2 u - 1) = 0$

Этап 2.1.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} - 3) (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Этап 2.1.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(x^{2} - 3) ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} - 3) ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 3) (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 2.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 3) (2 x - 1) (x + 1) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = \frac{1}{2}$ (кратно $1$ )

$x = - 1$ (кратно $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = \frac{1}{2}$ (кратно $1$ )

$x = - 1$ (кратно $1$ )

Этап 3