Основы мат. анализа Примеры

${(- 1 + i)}^{7}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(- 1)}^{7} + 7 {(- 1)}^{6} i + 21 {(- 1)}^{5} i^{2} + 35 {(- 1)}^{4} i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$- 1 + 7 {(- 1)}^{6} i + 21 {(- 1)}^{5} i^{2} + 35 {(- 1)}^{4} i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$- 1 + 7 \cdot 1 i + 21 {(- 1)}^{5} i^{2} + 35 {(- 1)}^{4} i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.3

Умножим $7$ на $1$ .

$- 1 + 7 i + 21 {(- 1)}^{5} i^{2} + 35 {(- 1)}^{4} i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$- 1 + 7 i + 21 \cdot - 1 i^{2} + 35 {(- 1)}^{4} i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.5

Умножим $21$ на $- 1$ .

$- 1 + 7 i - 21 i^{2} + 35 {(- 1)}^{4} i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 7 i - 21 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{4} i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.7

Умножим $- 21$ на $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 + 35 {(- 1)}^{4} i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- 1 + 7 i + 21 + 35 \cdot 1 i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.9

Умножим $35$ на $1$ .

$- 1 + 7 i + 21 + 35 i^{3} + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.10

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$- 1 + 7 i + 21 + 35 (i^{2} \cdot i) + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.11

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 + 35 (- 1 \cdot i) + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.12

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$- 1 + 7 i + 21 + 35 (- i) + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.13

Умножим $- 1$ на $35$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i + 35 {(- 1)}^{3} i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i + 35 \cdot - 1 i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.15

Умножим $35$ на $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.16

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 {(i^{2})}^{2} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.16.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 {(- 1)}^{2} + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.16.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 \cdot 1 + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.17

Умножим $- 35$ на $1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 {(- 1)}^{2} i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.18

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 \cdot 1 i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.19

Умножим $21$ на $1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i^{5} + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.20

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 (i^{4} i) + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.21

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.21.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 ({(i^{2})}^{2} i) + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.21.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 ({(- 1)}^{2} i) + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.21.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 (1 i) + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.22

Умножим $i$ на $1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 \cdot - 1 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.23

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i - 7 i^{6} + i^{7}$

Этап 2.1.24

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i - 7 (i^{4} i^{2}) + i^{7}$

Этап 2.1.25

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i - 7 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + i^{7}$

Этап 2.1.25.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i - 7 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + i^{7}$

Этап 2.1.25.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i - 7 (1 i^{2}) + i^{7}$

Этап 2.1.26

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i - 7 i^{2} + i^{7}$

Этап 2.1.27

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i - 7 \cdot - 1 + i^{7}$

Этап 2.1.28

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 + i^{7}$

Этап 2.1.29

Перепишем $i^{7}$ в виде $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.29.1

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 + i^{4} i^{3}$

Этап 2.1.29.2

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 + i^{4} (i^{2} \cdot i)$

Этап 2.1.30

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.30.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 + {(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)$

Этап 2.1.30.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 + {(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)$

Этап 2.1.30.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 + 1 (i^{2} \cdot i)$

Этап 2.1.31

Умножим $i^{2} \cdot i$ на $1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 + i^{2} \cdot i$

Этап 2.1.32

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 - 1 \cdot i$

Этап 2.1.33

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$- 1 + 7 i + 21 - 35 i - 35 + 21 i + 7 - i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $- 1$ и $21$ .

$20 + 7 i - 35 i - 35 + 21 i + 7 - i$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $35$ из $20$ .

$- 15 + 7 i - 35 i + 21 i + 7 - i$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 15$ и $7$ .

$- 8 + 7 i - 35 i + 21 i - i$

Этап 2.2.3

Вычтем $35 i$ из $7 i$ .

$- 8 - 28 i + 21 i - i$

Этап 2.2.4

Добавим $- 28 i$ и $21 i$ .

$- 8 - 7 i - i$

Этап 2.2.5

Вычтем $i$ из $- 7 i$ .

$- 8 - 8 i$