Основы мат. анализа Примеры

$1$ , $9$ , $25$ , $49$ , $81$

Этап 1

Найдем разности первого уровня, вычислив разности между последовательными членами.

$8, 16, 24, 32$

Этап 2

Найдем разности второго уровня, вычислив разности между разностями первого уровня. Так как разность второго уровня — константа, это квадратичная последовательность, заданная посредством $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$8$

Этап 3

Решим относительно $a$ , приравняв $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $8$ .

$2 a = 8$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 a = 8$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 a = 8$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{8}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{8}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{8}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $8$ на $2$ .

$a = 4$

Этап 4

Решим относительно $b$ , приравняв $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $8$ .

$3 a + b = 8$

Этап 4.2

Подставим $4$ вместо $a$ .

$3 \cdot 4 + b = 8$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 + b = 8$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$b = 8 - 12$

Этап 4.4.2

Вычтем $12$ из $8$ .

$b = - 4$

Этап 5

Решим относительно $c$ , приравняв $a + b + c$ к первому члену последовательности $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $a + b + c$ к первому члену последовательности $1$ .

$a + b + c = 1$

Этап 5.2

Подставим $4$ вместо $a$ , а $- 4$ вместо $b$ .

$4 - 4 + c = 1$

Этап 5.3

Упростим $4 - 4 + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$0 + c = 1$

Этап 5.3.2

Добавим $0$ и $c$ .

$c = 1$

Этап 6

Подставим значения $a$ , $b$ и $c$ в формулу квадратичной последовательности $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$a_{n} = 4 n^{2} - 4 n + 1$