Основы мат. анализа Примеры

$e^{x} + 2$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = e^{y} + 2$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $e^{y} + 2 = x$ .

$e^{y} + 2 = x$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$e^{y} = x - 2$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (x - 2)$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (x - 2)$

Этап 2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x - 2)$

Этап 2.4.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (x - 2)$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 2)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (x - 2)$ обратной к $f (x) = e^{x} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (e^{x} + 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x} + 2) = \ln ((e^{x} + 2) - 2)$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $(e^{x} + 2) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (e^{x} + 2) = \ln (e^{x} + 0)$

Этап 4.2.3.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{x} + 2) = \ln (e^{x})$

Этап 4.2.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (e^{x} + 2) = x \ln (e)$

Этап 4.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} + 2) = x \cdot 1$

Этап 4.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} + 2) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\ln (x - 2))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (x - 2)) = e^{\ln (x - 2)} + 2$

Этап 4.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (x - 2)) = x - 2 + 2$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\ln (x - 2)) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\ln (x - 2)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (x - 2)$ — обратная к $f (x) = e^{x} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 2)$