Основы мат. анализа Примеры

$\arccos (x - π)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \arccos (y - π)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\arccos (y - π) = x$ .

$\arccos (y - π) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арккосинуса.

$y - π = \cos (x)$

Этап 2.3

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$y = \cos (x) + π$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \cos (x) + π$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \cos (x) + π$ обратной к $f (x) = \arccos (x - π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\arccos (x - π))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arccos (x - π)) = \cos (\arccos (x - π)) + π$

Этап 4.2.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f^{- 1} (\arccos (x - π)) = x - π + π$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x - π + π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- π$ и $π$ .

$f^{- 1} (\arccos (x - π)) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\arccos (x - π)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\cos (x) + π)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\cos (x) + π) = \arccos ((\cos (x) + π) - π)$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(\cos (x) + π) - π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\cos (x) + π) = \arccos (\cos (x) + 0)$

Этап 4.3.3.2

Добавим $\cos (x)$ и $0$ .

$f (\cos (x) + π) = \arccos (\cos (x))$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \cos (x) + π$ — обратная к $f (x) = \arccos (x - π)$ .

$f^{- 1} (x) = \cos (x) + π$