Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} - x^{4} \leq 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} - x^{4} = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{2} - x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} \cdot 2 - x^{4} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{4}$ .

$x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2}) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})$ .

$x^{2} (2 - x^{2}) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 - x^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $2 - x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 - x^{2}$ к $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим $2 - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 2$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Этап 5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (2 - x^{2}) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < 0$

$0 < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 4)}^{2} - {(- 4)}^{4} \leq 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $- 224$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4} \leq 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $0 < x < \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4} \leq 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.4

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 {(4)}^{2} - {(4)}^{4} \leq 0$

Этап 8.4.3

Левая часть $- 224$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{2}$ Истина

$- \sqrt{2} < x < 0$ Ложь

$0 < x < \sqrt{2}$ Ложь

$x > \sqrt{2}$ Истина

$x < - \sqrt{2}$ Истина

$- \sqrt{2} < x < 0$ Ложь

$0 < x < \sqrt{2}$ Ложь

$x > \sqrt{2}$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \sqrt{2}$ или $x \geq \sqrt{2}$ или $x = 0$

Этап 10

Объединим интервалы.

$x \leq - \sqrt{2} or x = 0 or x \geq \sqrt{2}$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - \sqrt{2}] \cup [0, 0] \cup [\sqrt{2}, \infty)$

Этап 12