Основы мат. анализа Примеры

$81 x^{2} - 18 x + 1 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$81 x^{2} - 18 x + 1 = 0$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $81 x^{2}$ в виде ${(9 x)}^{2}$ .

${(9 x)}^{2} - 18 x + 1 = 0$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(9 x)}^{2} - 18 x + 1^{2} = 0$

Этап 2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 x = 2 \cdot (9 x) \cdot 1$

Этап 2.4

Перепишем многочлен.

${(9 x)}^{2} - 2 \cdot (9 x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 9 x$ и $b = 1$ .

${(9 x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $9 x - 1$ к $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 1$

Этап 4.2

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{9}$

$x > \frac{1}{9}$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$81 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 1 < 0$

Этап 6.1.3

Левая часть $1$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$81 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 1 < 0$

Этап 6.2.3

Левая часть $676$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{9}$ Ложь

$x > \frac{1}{9}$ Ложь

$x < \frac{1}{9}$ Ложь

$x > \frac{1}{9}$ Ложь

Этап 7

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения