Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} + x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 3, - 4$

Этап 7

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Этап 7.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 7.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 7.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 8

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 9

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 10

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 3, - 4$

$x = 2$

Этап 11

Объединим решения.

$x = 3, - 4, 2$

Этап 12

Найдем область определения $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Этап 12.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Этап 12.2.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 12.2.1.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 12.2.1.4

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 12.2.2

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 12.2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 12.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 14.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 12}{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot - 6 + 4} > 0$

Этап 14.1.3

Левая часть $0.28125$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 14.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 14.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 12}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Этап 14.2.3

Левая часть $- 3$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 14.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.5$

Этап 14.3.2

Заменим $x$ на $2.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2.5)}^{2} + 2.5 - 12}{{(2.5)}^{2} - 4 \cdot 2.5 + 4} > 0$

Этап 14.3.3

Левая часть $- 13$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 14.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 14.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6)}^{2} + 6 - 12}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 4} > 0$

Этап 14.4.3

Левая часть $1.875$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 14.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 4$ или $x > 3$

Этап 16

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Этап 17