Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

Этап 1

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $0$ на $x + 1$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2

Перепишем таким образом, чтобы $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ оказалось в левой части неравенства.

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ в виде ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.1.4

Упростим.

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} - 1 \leq 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \leq 1$

Этап 5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Этап 5.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | \leq 1$

Этап 5.4

Запишем $| x | \leq 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 5.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 1$

Этап 5.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 5.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 1$

Этап 5.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Этап 5.5

Найдем пересечение $x \leq 1$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Этап 5.6

Решим $- x \leq 1$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $- x \leq 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Этап 5.6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Этап 5.6.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Этап 5.6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x \geq - 1$

Этап 5.6.2

Найдем пересечение $x \geq - 1$ и $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Этап 5.7

Найдем объединение решений.

$- 1 \leq x \leq 1$

Этап 6

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 1, 1]$

Этап 7