Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4 x - 5}{x + 2} \leq 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\frac{4 x - 5}{x + 2} - 3 \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{4 x - 5}{x + 2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4 x - 5}{x + 2} - 3 \cdot \frac{x + 2}{x + 2} \leq 0$

Этап 2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4 x - 5}{x + 2} + \frac{- 3 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x - 5 - 3 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - 5 - 3 x - 3 \cdot 2}{x + 2} \leq 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{4 x - 5 - 3 x - 6}{x + 2} \leq 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $3 x$ из $4 x$ .

$\frac{x - 5 - 6}{x + 2} \leq 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $6$ из $- 5$ .

$\frac{x - 11}{x + 2} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 11 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$x = 11$

Этап 5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 11$

$x = - 2$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 11, - 2$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{x - 11}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 11}{x + 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 2 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 11$

$x > 11$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 (- 4) - 5}{(- 4) + 2} \leq 3$

Этап 10.1.3

Левая часть $10.5$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 (0) - 5}{(0) + 2} \leq 3$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 2.5$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 14$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $14$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 (14) - 5}{(14) + 2} \leq 3$

Этап 10.3.3

Левая часть $3.1875$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 11$ Истина

$x > 11$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 11$ Истина

$x > 11$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 < x \leq 11$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 2, 11]$

Этап 13