Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Этап 1

Чтобы найти $\cos (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Противоположное: $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Смежный: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{5^{1}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{5}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{25} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\sqrt{\frac{5 (1)}{25} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.5.2

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.5.3

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.6.2

Умножим $\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.7.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Этап 2.7.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 2.7.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 2.7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

Этап 2.7.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

Этап 2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

Этап 2.8.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{20}{25}}$

Этап 2.8.3

Сократим общий множитель $20$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 (4)}{25}}$

Этап 2.8.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Этап 2.8.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Этап 2.8.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}$

Этап 2.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + 4}{5}}$

Этап 2.8.4.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\sqrt{\frac{5}{5}}$

Этап 2.8.4.3

Разделим $5$ на $5$ .

$\sqrt{1}$

Этап 2.8.4.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1$

Этап 3

$\cos (θ) = \frac{Смежные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\cos (θ) = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{1}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{1}$

Этап 4

Разделим $\frac{\sqrt{5}}{5}$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.44721359$