Основы мат. анализа Примеры

$x = y^{2} - 4 y$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 4 y = x$ .

$y^{2} - 4 y = x$

Этап 2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Перепишем $- 4 (- 4 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Перепишем $- 4 (- 4 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Перепишем $- 4 (- 4 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Этап 9

Поменяем переменные местами. Составим уравнение для каждого выражения.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

Этап 10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ .

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

Этап 10.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ в виде ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 1 (- y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.5

Упростим.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

Этап 10.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

Этап 10.4.3.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Этап 10.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Этап 10.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 10.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 10.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 10.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Этап 10.4.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

Этап 10.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

Этап 10.5.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 0$

Этап 10.5.2.2

Добавим $x^{2} - 4 x$ и $0$ .

$y = x^{2} - 4 x$

Этап 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Этап 12

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ обратной к $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ и $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ и сравним их.

Этап 12.2

Найдем множество значений $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем множество значений $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[2, \infty)$

Этап 12.2.2

Найдем множество значений $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, 2]$

Этап 12.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, \infty)$

Этап 12.3

Найдем область определения $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

Этап 12.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Разделим каждый член $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.1

Разделим каждый член $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 12.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 12.3.2.1.2.2

Разделим $- 4 - x$ на $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 12.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$- 4 - x \leq 0$

Этап 12.3.2.2

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$- x \leq 4$

Этап 12.3.2.3

Разделим каждый член $- x \leq 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.3.1

Разделим каждый член $- x \leq 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 12.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 12.3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 12.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.3.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x \geq - 4$

Этап 12.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 4, \infty)$

Этап 12.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ , представляет область определения $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ — обратная к $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Этап 13