Основы мат. анализа Примеры

$C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = 3 t^{2} + 1$ .

$\frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $3 t^{2} + 1$ на $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $3 t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Добавим $6 t$ и $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.7

Вычтем $6 t^{2}$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 t^{2}$ .

$\frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.8.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2}) - 1 (- 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.8.4

Перепишем $- (3 t^{2} - 1)$ в виде $- 1 (3 t^{2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = - 1$ и $g (t) = \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$C'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.2

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $3 t^{2} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $3$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + 0) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $6 t$ и $0$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.7.2

Перенесем $6$ влево от ${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{6 \cdot ({(3 t^{2} + 1)}^{2} t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 3 t^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t^{2} + 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 t^{2} + 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 (3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $3 t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5.5

Умножим $2$ на $3$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5.6

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + 0))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Добавим $6 t$ и $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5.7.2

Перенесем $6$ влево от $3 t^{2} + 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) (6 \cdot ((3 t^{2} + 1) t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5.7.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.5.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Этап 2.5.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.9.1

Умножим $\frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ на $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + 0$

Этап 2.5.9.2

Добавим $- \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$ и $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.1

Перепишем ${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ .

$C'' (t) = - \frac{6 ((3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.2

Развернем $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2} + 1) + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2} t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 (t^{2} t^{2})) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2 + 2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{4}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.5

Умножим $3 t^{2}$ на $1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.2

Добавим $3 t^{2}$ и $3 t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 6 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{(6 (9 t^{4}) + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.5.1

Умножим $9$ на $6$ .

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.5.2

Умножим $6$ на $6$ .

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.5.3

Умножим $6$ на $1$ .

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{4} t + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.1

Умножим $t^{4}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.1.1

Перенесем $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.1.2

Умножим $t$ на $t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{1 + 4} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.2.1

Перенесем $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.2.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{1 + 2} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.8.1

Умножим $3$ на $- 12$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.9.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.9.1.1

Перенесем $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9.1.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.9.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{1 + 2} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9.2

Умножим $t$ на $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.10

Развернем $(- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3} + t) + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{2} t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1.2.1

Перенесем $t^{3}$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 (t^{3} t^{2})) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{3 + 2}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{5}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.3

Умножим $- 36$ на $3$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.4

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1.4.1

Перенесем $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.4.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1.4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{1 + 2} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.5

Умножим $3$ на $12$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 36 t^{3} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.2

Добавим $- 36 t^{3}$ и $36 t^{3}$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 0 + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.3

Добавим $- 108 t^{5}$ и $0$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.2

Вычтем $108 t^{5}$ из $54 t^{5}$ .

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3.3

Добавим $6 t$ и $12 t$ .

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Вынесем множитель $18 t$ из $- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1

Вынесем множитель $18 t$ из $- 54 t^{5}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.2

Вынесем множитель $18 t$ из $36 t^{3}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3

Вынесем множитель $18 t$ из $18 t$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.4

Вынесем множитель $18 t$ из $18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2})$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.5

Вынесем множитель $18 t$ из $18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.2

Перепишем $t^{4}$ в виде ${(t^{2})}^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.3

Пусть $u = t^{2}$ . Подставим $u$ вместо $t^{2}$ для всех.

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 (u) + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.1.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + (- 1 + 3) u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} - 1 u + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u^{2} - 1 u) + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$C'' (t) = - \frac{18 t (u (- 3 u - 1) - (- 3 u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 u - 1$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u - 1) (u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1^{2}))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.4.7

Разложим на множители.

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{2} - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.5

Сократим общий множитель $- 3 t^{2} - 1$ и ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.5.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1 \cdot 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 t^{2}) - 1 (1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4

Перепишем $- (3 t^{2} + 1)$ в виде $- 1 (3 t^{2} + 1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.5.5

Вынесем множитель $3 t^{2} + 1$ из $18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)$ .

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.5.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.6.1

Вынесем множитель $3 t^{2} + 1$ из ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ .

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.6.5.6.2

Сократим общий множитель.

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.6.5.6.3

Перепишем это выражение.

$C'' (t) = - \frac{(18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.6.6

Умножим $- 1$ на $18$ .

$C'' (t) = - \frac{- 18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C'' (t) = \frac{(18 t (t + 1)) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.6.8

Умножим $- - \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$C'' (t) = 1 (\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.6.8.2

Умножим $\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ на $1$ .

$C'' (t) = \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $3 t^{2} + 1$ на $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $3 t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Добавим $6 t$ и $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.7

Вычтем $6 t^{2}$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 t^{2}$ .

$\frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.8.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2}) - 1 (- 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.8.4

Перепишем $- (3 t^{2} - 1)$ в виде $- 1 (3 t^{2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.1.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (t) = - \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $C (t)$ по $t$ равна $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 t^{2} - 1 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 t^{2} = 1$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $3 t^{2} = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $3 t^{2} = 1$ на $3$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} = \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 5.3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.3.4.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.3.4.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.3.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.3.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.3.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{18 (\frac{\sqrt{3}}{3}) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $18$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

Этап 9.2.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим выражение $\frac{18 \sqrt{3}}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $18 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 9.3.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 (1)} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 9.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 9.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 9.3.1.2

Разделим $6 \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 9.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 9.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 9.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

Этап 9.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

Этап 9.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.8.1

Объединим $\frac{\sqrt{3} + 3}{3}$ и $6$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.8.2

Объединим $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.8.3

Умножим $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{\sqrt{3} - 3}{3}$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

Этап 9.3.8.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

Этап 9.3.9

Сократим выражение $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

Этап 9.3.9.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

Этап 9.3.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

Этап 9.3.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{(\sqrt{3} \cdot 2 + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 6) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.5

Умножим $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.5.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\frac{(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.8

Развернем $(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{6 (\sqrt{3} - 3) + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.9.1.1

Умножим $6$ на $- 3$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.2

Умножим $6 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.9.1.2.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.9.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.9.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.4

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.1.5

Умножим $- 3$ на $6$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.2

Вычтем $18 \sqrt{3}$ из $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 + 18 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.3

Добавим $- 18$ и $18$ .

$\frac{\frac{0 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Этап 9.3.10.9.4

Вычтем $12 \sqrt{3}$ из $0$ .

$\frac{\frac{- 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Этап 9.3.11

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

Этап 9.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

Этап 9.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

Этап 9.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

Этап 9.3.11.2.4

Разделим $- 4 \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{8}$

Этап 9.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 9.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (2)}$

Этап 9.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Этап 9.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 11.2.2.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 11.2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 11.2.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 11.2.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 11.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Этап 11.2.2.2.5

Найдем экспоненту.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Этап 11.2.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

Этап 11.2.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

Этап 11.2.2.4.2

Сократим общий множитель.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

Этап 11.2.2.4.3

Перепишем это выражение.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

Этап 11.2.2.5

Разделим $3$ на $3$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

Этап 11.2.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 11.2.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{18 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Умножим $- 1$ на $18$ .

$\frac{- 18 \frac{\sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 13.1.2

Объединим $- 18$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.3

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.7

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Этап 13.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

Этап 13.2.9

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Сократим выражение $\frac{- 18 \sqrt{3}}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 18 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 13.3.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 (1)} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 13.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 13.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3}}{1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 13.3.1.2

Разделим $- 6 \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 13.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 13.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Этап 13.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

Этап 13.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

Этап 13.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.8.1

Объединим $\frac{- \sqrt{3} + 3}{3}$ и $- 6$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3} \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.8.2

Объединим $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.8.3

Умножим $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{- \sqrt{3} - 3}{3}$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

Этап 13.3.8.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

Этап 13.3.9

Сократим выражение $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

Этап 13.3.9.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

Этап 13.3.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

Этап 13.3.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} \cdot - 2 + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} - 6) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.5

Умножим $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.5.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\frac{(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.8

Развернем $(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3} - 3) - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.9.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.2

Умножим $6$ на $- 3$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.3

Умножим $- 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.9.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.9.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.10.9.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.5

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.1.6

Умножим $- 3$ на $- 6$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.2

Добавим $- 6 \sqrt{3}$ и $18 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 + 18 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.3

Добавим $- 18$ и $18$ .

$\frac{\frac{0 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Этап 13.3.10.9.4

Добавим $0$ и $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Этап 13.3.11

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

Этап 13.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

Этап 13.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

Этап 13.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

Этап 13.3.11.2.4

Разделим $4 \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{8}$

Этап 13.4

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (\sqrt{3})}{8}$

Этап 13.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Этап 13.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Этап 13.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 14

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Этап 15.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1}$

Этап 15.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

Этап 15.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 15.2.2.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 15.2.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 15.2.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 15.2.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Этап 15.2.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Этап 15.2.2.4.5

Найдем экспоненту.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Этап 15.2.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

Этап 15.2.2.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

Этап 15.2.2.6.2

Сократим общий множитель.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

Этап 15.2.2.6.3

Перепишем это выражение.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

Этап 15.2.2.7

Разделим $3$ на $3$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

Этап 15.2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 15.2.3

Умножим $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 15.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{6})$ — локальный максимум

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{6})$ — локальный минимум

Этап 17