Основы мат. анализа Примеры

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

Этап 1

Добавим $37$ к обеим частям уравнения.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

Этап 2

Составим полный квадрат для $12 x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 6}{12}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 12)}^{2}$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Этап 2.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Этап 2.4.2.1.1.4

Умножим $12^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

Этап 2.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12^{2}$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

Этап 2.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $12$ из $4 \cdot 12$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

Этап 2.4.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Этап 2.4.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

Этап 2.4.2.1.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Этап 2.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e = 0 - 3$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$e = - 3$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Этап 3

Подставим $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ вместо $12 x^{2} - 12 x$ в уравнение $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

Этап 4

Перенесем $- 3$ в правую часть уравнения, прибавив $3$ к обеим частям.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

Этап 5

Составим полный квадрат для $20 y^{2} + 40 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $40$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{20}{20}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{20}{20}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $40$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $20$ .

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $1600$ на $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $20$ .

$e = 0 - 20$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $20$ из $0$ .

$e = - 20$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ .

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

Этап 6

Подставим $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ вместо $20 y^{2} + 40 y$ в уравнение $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

Этап 7

Перенесем $- 20$ в правую часть уравнения, прибавив $20$ к обеим частям.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

Этап 8

Упростим $37 + 3 + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $37$ и $3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

Этап 8.2

Добавим $40$ и $20$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

Этап 9

Разделим каждый член на $60$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Этап 11

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 12

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

Этап 13

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 14

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.1.4

Вычтем $3$ из $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 15.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 15.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 15.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 15.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 15.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 15.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 15.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 15.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 15.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 15.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 15.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Этап 15.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Этап 15.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Десятичная форма:

$0.63245553 \dots$

Этап 17