Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y - 44 = 0$

Этап 1

Добавим $44$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$

Этап 2

Составим полный квадрат для $9 x^{2} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 18}{9}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 18$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $1296$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$e = 0 - 36$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$e = - 36$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Этап 3

Подставим $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ вместо $9 x^{2} - 36 x$ в уравнение $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 + 4 y^{2} + 32 y = 44$

Этап 4

Перенесем $- 36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = 44 + 36$

Этап 5

Составим полный квадрат для $4 y^{2} + 32 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{16}{4}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 5.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $1024$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$e = 0 - 64$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$e = - 64$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

Этап 6

Подставим $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ вместо $4 y^{2} + 32 y$ в уравнение $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = 44 + 36$

Этап 7

Перенесем $- 64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 44 + 36 + 64$

Этап 8

Упростим $44 + 36 + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $44$ и $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 80 + 64$

Этап 8.2

Добавим $80$ и $64$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 144$

Этап 9

Разделим каждый член на $144$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{36} = 1$

Этап 11

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 12

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 6$

$b = 4$

$k = - 4$

$h = 2$

Этап 13

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 14

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Этап 15.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Этап 15.1.3

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Этап 15.1.4

Вычтем $16$ из $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Этап 15.1.5

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Этап 15.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Этап 15.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Этап 15.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Этап 15.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Этап 15.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Десятичная форма:

$0.74535599 \dots$

Этап 17