Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.2.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (2 x) \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 2.2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\cos (2 x) = 0$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (0)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 6

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 8.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 8.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 8.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 9

Решение уравнения $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Этап 11.1.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 11.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 11.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 11.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 12

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Этап 13.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Этап 13.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Этап 13.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 13.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Этап 13.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 14

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Этап 15.1.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Этап 15.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 15.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 15.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.4

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Этап 15.4.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2$

Этап 16

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 17

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Этап 17.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Этап 17.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.2.2

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 17.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Этап 17.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 17.2.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1}{2}$

Этап 17.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2}$

Этап 17.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 18

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2})$ — локальный максимум

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2})$ — локальный минимум

Этап 19