Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm 26, \pm 52$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm \frac{13}{2}, \pm 26, \pm 52$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8} - 5 (\frac{1}{8}) - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.8

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 (\frac{1}{4}) + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.13

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 (- 5) \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Этап 4.1.14

Объединим $115$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + \frac{115}{2} - 52$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 5 - 52 + \frac{1 - 5}{8} + \frac{115}{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$- 5 - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $- 5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 5}{1} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Этап 4.3.4

Запишем $- 52$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{- 52}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{- 52}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Этап 4.3.7

Умножим $\frac{115}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.3.8

Умножим $\frac{115}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.9

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{8}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5 \cdot 8 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 5$ на $8$ .

$\frac{- 40 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Этап 4.5.2

Умножим $- 52$ на $8$ .

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Этап 4.5.3

Умножим $115$ на $4$ .

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 460}{8}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $416$ из $- 40$ .

$\frac{- 456 - 4 + 460}{8}$

Этап 4.6.2

Вычтем $4$ из $- 456$ .

$\frac{- 460 + 460}{8}$

Этап 4.6.3

Добавим $- 460$ и $460$ .

$\frac{0}{8}$

Этап 4.6.4

Разделим $0$ на $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52}{x - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$	$- 4$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 20)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$	$- 22$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 22)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 11)$ под следующим членом делимого $(115)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(104)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(52)$ под следующим членом делимого $(- 52)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 22) x + 104$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 22 x + 104)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 22 x + 104)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 22 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 104)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $104$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52)$

Этап 7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 52))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перегруппируем члены.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Этап 8.2

Вынесем множитель $- 5 x^{2}$ из $- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $- 5 x^{2}$ из $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Этап 8.2.2

Вынесем множитель $- 5 x^{2}$ из $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot 4 + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Этап 8.2.3

Вынесем множитель $- 5 x^{2}$ из $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Этап 8.3

Разложим $2 x^{4} + 115 x - 52$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

Этап 8.3.3

Подставим $- 4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Подставим $- 4$ в многочлен.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

Этап 8.3.3.2

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

Этап 8.3.3.3

Умножим $2$ на $256$ .

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

Этап 8.3.3.4

Умножим $115$ на $- 4$ .

$512 - 460 - 52$

Этап 8.3.3.5

Вычтем $460$ из $512$ .

$52 - 52$

Этап 8.3.3.6

Вычтем $52$ из $52$ .

$0$

Этап 8.3.4

Поскольку $- 4$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

Этап 8.3.5

Разделим $2 x^{4} + 115 x - 52$ на $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Этап 8.3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Этап 8.3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Этап 8.3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} + 8 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Этап 8.3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Этап 8.3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 8.3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 8.3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Этап 8.3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Этап 8.3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Этап 8.3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Этап 8.3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $32 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Этап 8.3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Этап 8.3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $32 x^{2} + 128 x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Этап 8.3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

Этап 8.3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Этап 8.3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 13 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Этап 8.3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Этап 8.3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 13 x - 52$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Этап 8.3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

Этап 8.3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

Этап 8.3.6

Запишем $2 x^{4} + 115 x - 52$ в виде набора множителей.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Этап 8.4

Вынесем множитель $x + 4$ из $- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $- 5 x^{2} (x + 4)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Этап 8.4.2

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Этап 8.5

Вычтем $8 x^{2}$ из $- 5 x^{2}$ .

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Этап 8.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Разложим $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.6.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

Этап 8.6.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 8.6.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 8.6.1.3.3

Умножим $2$ на $0.125$ .

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 8.6.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 8.6.1.3.5

Умножим $- 13$ на $0.25$ .

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 8.6.1.3.6

Вычтем $3.25$ из $0.25$ .

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Этап 8.6.1.3.7

Умножим $32$ на $0.5$ .

$- 3 + 16 - 13$

Этап 8.6.1.3.8

Добавим $- 3$ и $16$ .

$13 - 13$

Этап 8.6.1.3.9

Вычтем $13$ из $13$ .

$0$

Этап 8.6.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

Этап 8.6.1.5

Разделим $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.5.1

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

Этап 8.6.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

Этап 8.6.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 8.6.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 8.6.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Этап 8.6.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Этап 8.6.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Этап 8.6.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 8.6.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x^{2} + 6 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 8.6.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

Этап 8.6.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Этап 8.6.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $26 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Этап 8.6.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

Этап 8.6.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $26 x - 13$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

Этап 8.6.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

Этап 8.6.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x + 13$

Этап 8.6.1.6

Запишем $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ в виде набора множителей.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)) = 0$

Этап 8.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Этап 10

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 11

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 12

Приравняем $x^{2} - 6 x + 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x^{2} - 6 x + 13$ к $0$ .

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Этап 12.2

Решим $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 12.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.3

Вычтем $52$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Этап 12.2.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$ верно.

$x = - 4, \frac{1}{2}, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Этап 14