Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 2 x^{3} + 22 x^{2} + 50 x - 75$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + 2 x^{3} + 22 x^{2} + 50 x - 75$ к $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 22 x^{2} + 50 x - 75 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$2 x^{3} + 50 x + x^{4} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 50 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 50 x + x^{4} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $50 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (25) + x^{4} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (25)$ .

$2 x (x^{2} + 25) + x^{4} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 25) + {(x^{2})}^{2} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$2 x (x^{2} + 25) + u^{2} + 22 u - 75 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} + 22 u - 75$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 75$ , а сумма — $22$ .

$- 3, 25$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 x (x^{2} + 25) + (u - 3) (u + 25) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 25) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 25) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $2 x (x^{2} + 25) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $2 x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 25) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(x^{2} - 3) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (2 x) + (x^{2} + 25) (x^{2} - 3) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(x^{2} + 25) (2 x) + (x^{2} + 25) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 25) (2 x + x^{2} - 3) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 25) (2 u + u^{2} - 3) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим $2 u + u^{2} - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 2.1.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} + 25) ((u - 1) (u + 3)) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 25) ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 25) (x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 25$ к $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 25 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 25$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Этап 2.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Перепишем $- 25$ в виде $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Этап 2.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (25)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Этап 2.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Этап 2.3.2.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Этап 2.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 5$

Этап 2.3.2.3.6

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \pm 5 i$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5 i$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5 i$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5 i, - 5 i$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 25) (x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 5 i, - 5 i, 1, - 3$

Этап 3