Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x y - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y')$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y'$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y = - 2 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y' - 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y$ на $2 (x - y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y$ на $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)}$

Этап 5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x - y}{x - y}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - y}{x - y}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (x) - (y)}{x - y}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (x + y)}{x - y}$

Этап 5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (x + y)$ в виде $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + y)}{x - y}$

Этап 5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x + y}{x - y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{x - y}$