Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 8 x^{2} + 16 x - 7$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 8 x^{2} + 16 x - 7$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $8 x^{2} + 16 x - 7 = 0$ .

$8 x^{2} + 16 x - 7 = 0$

Этап 1.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.3

Подставим значения $a = 8$ , $b = 16$ и $c = - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 7)}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 32 \cdot - 7}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Умножим $- 32$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 224}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.4.1.3

Добавим $256$ и $224$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{480}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.4.1.4

Перепишем $480$ в виде $4^{2} \cdot 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $480$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{16 (30)}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{30}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{30}}{16}$

Этап 1.2.4.3

Упростим $\frac{- 16 \pm 4 \sqrt{30}}{16}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 32 \cdot - 7}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $- 32$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 224}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.5.1.3

Добавим $256$ и $224$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{480}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $480$ в виде $4^{2} \cdot 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $480$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{16 (30)}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{30}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{30}}{16}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{- 16 \pm 4 \sqrt{30}}{16}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 4 + \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.2.5.5

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{30}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 1 (- \sqrt{30})}{4}$

Этап 1.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - 1 (- \sqrt{30})$ .

$x = \frac{- 1 (4 - \sqrt{30})}{4}$

Этап 1.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 - \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 32 \cdot - 7}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 32$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 224}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.6.1.3

Добавим $256$ и $224$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{480}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $480$ в виде $4^{2} \cdot 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $480$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{16 (30)}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{30}}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{30}}{16}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{- 16 \pm 4 \sqrt{30}}{16}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 4 - \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.2.6.5

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{30}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (\sqrt{30})}{4}$

Этап 1.2.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - (\sqrt{30})$ .

$x = \frac{- 1 (4 + \sqrt{30})}{4}$

Этап 1.2.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 + \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{4 - \sqrt{30}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{30}}{4}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(- \frac{4 - \sqrt{30}}{4}, 0), (- \frac{4 + \sqrt{30}}{4}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 8 {(0)}^{2} + 16 (0) - 7$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - 7$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 8 {(0)}^{2} + 16 (0) - 7$

Этап 2.2.3

Упростим $8 {(0)}^{2} + 16 (0) - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 8 \cdot 0 + 16 (0) - 7$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $8$ на $0$ .

$y = 0 + 16 (0) - 7$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $16$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 7$

Этап 2.2.3.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 7$

Этап 2.2.3.2.2

Вычтем $7$ из $0$ .

$y = - 7$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 7)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(- \frac{4 - \sqrt{30}}{4}, 0), (- \frac{4 + \sqrt{30}}{4}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 7)$

Этап 4