Основы мат. анализа Примеры

$\tan (θ) = - 2 \sin (θ)$

Этап 1

Разделим каждый член $\tan (θ) = - 2 \sin (θ)$ на $\tan (θ)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\tan (θ) = - 2 \sin (θ)$ на $\tan (θ)$ .

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{- 2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{- 2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{- 2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим дроби.

$1 = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\tan (θ)}$

Этап 1.3.2

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 1.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 = \frac{- 2}{1} (\sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 1.3.4

Запишем $\sin (θ)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$1 = \frac{- 2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 1.3.5

Сократим общий множитель $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{- 2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 1.3.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{- 2}{1} \cos (θ)$

Этап 1.3.6

Разделим $- 2$ на $1$ .

$1 = - 2 \cos (θ)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $- 2 \cos (θ) = 1$ .

$- 2 \cos (θ) = 1$

Этап 3

Разделим каждый член $- 2 \cos (θ) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (θ) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 6

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 7

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 7.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 8

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$