Основы мат. анализа Примеры

$\csc (θ) - \sqrt{2} = 0$

Этап 1

Добавим $\sqrt{2}$ к обеим частям уравнения.

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

Этап 2

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (\sqrt{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $arccsc (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 4

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Этап 5

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 6

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7

Период функции $\csc (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$