Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 7 x^{2} - 18 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} - 18 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} + 7 u - 18 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + 7 u - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $7$ .

$- 2, 9$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 9) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 4

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 4.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 4.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 4.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 2) (x^{2} + 9) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 3 i, - 3 i$