Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\log (x - 4)}{\sqrt{27 - 3 x}}$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log (x - 4)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 4 > 0$

Этап 2

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$x > 4$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{27 - 3 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$27 - 3 x \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $27$ из обеих частей неравенства.

$- 3 x \geq - 27$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 3 x \geq - 27$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 3 x \geq - 27$ на $- 3$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 3 x}{- 3} \leq \frac{- 27}{- 3}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} \leq \frac{- 27}{- 3}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 27}{- 3}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 27$ на $- 3$ .

$x \leq 9$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{\log (x - 4)}{\sqrt{27 - 3 x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{27 - 3 x} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{27 - 3 x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{27 - 3 x}$ в виде ${(27 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(27 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим ${({(27 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(27 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(27 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(27 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(27 - 3 x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим.

$27 - 3 x = 0^{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 - 3 x = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x = - 27$

Этап 6.3.2

Разделим каждый член $- 3 x = - 27$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = - 27$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 27}{- 3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 27}{- 3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 27}{- 3}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Разделим $- 27$ на $- 3$ .

$x = 9$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(4, 9)$

Обозначение построения множества:

${x | 4 < x < 9}$

Этап 8