Основы мат. анализа Примеры

Косинус и арккосинус — обратные функции.

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках ${\displaystyle (\sqrt{1^2-x^2},x)}$, ${\displaystyle (\sqrt{1^2-x^2},0)}$ и начале координат. Тогда ${\displaystyle \arcsin \left(x\right)}$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку ${\displaystyle (\sqrt{1^2-x^2},x)}$. Следовательно, ${\displaystyle \cos \left(\arcsin \left(x\right)\right)}$ равно ${\displaystyle \sqrt{1-x^2}}$.

Перепишем ${\displaystyle 1}$ в виде ${\displaystyle 1^2}$.

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, ${\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$, где ${\displaystyle a=1}$ и ${\displaystyle b=x}$.

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках ${\displaystyle (x,\sqrt{1^2-x^2})}$, ${\displaystyle (x,0)}$ и начале координат. Тогда ${\displaystyle \arccos \left(x\right)}$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку ${\displaystyle (x,\sqrt{1^2-x^2})}$. Следовательно, ${\displaystyle \sin \left(\arccos \left(x\right)\right)}$ равно ${\displaystyle \sqrt{1-x^2}}$.

Перепишем ${\displaystyle 1}$ в виде ${\displaystyle 1^2}$.

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, ${\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$, где ${\displaystyle a=1}$ и ${\displaystyle b=x}$.

Синус и арксинус — обратные функции.

Изменим порядок множителей в членах ${\displaystyle x\sqrt{(1+x)(1-x)}}$ и ${\displaystyle -\sqrt{(1+x)(1-x)}x}$.

Вычтем ${\displaystyle x\sqrt{(1+x)(1-x)}}$ из ${\displaystyle x\sqrt{(1+x)(1-x)}}$.