Основы мат. анализа Примеры

$1$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{64}$ , $\frac{1}{256}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{1}{4}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{1}{4}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 1$ и $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Этап 4

Умножим ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ на $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Этап 5

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Этап 6

Единица в любой степени равна единице.

$a_{n} = \frac{1}{4^{n - 1}}$

Этап 7

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 8

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 9

Умножим $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ на $1$ .

$S_{5} = \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 10

Умножим числитель и знаменатель дроби на $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$S_{5} = \frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Этап 10.2

Объединим.

$S_{5} = \frac{4 ({(\frac{1}{4})}^{5} - 1)}{4 (\frac{1}{4} - 1)}$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Этап 12

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Этап 12.2

Перепишем это выражение.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4^{5}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{5}$ .

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.2.2

Сократим общий множитель.

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.2.3

Перепишем это выражение.

$S_{5} = \frac{\frac{1^{5}}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.3

Единица в любой степени равна единице.

$S_{5} = \frac{\frac{1}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.4

Возведем $4$ в степень $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.6

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{256}{256}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4 \cdot \frac{256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.7

Объединим $- 4$ и $\frac{256}{256}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Умножим $- 4$ на $256$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 1024}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.9.2

Вычтем $1024$ из $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 13.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Этап 14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 - 4}$

Этап 14.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{- 3}$

Этап 15

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{5} = - \frac{1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

Этап 16

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1023}{256}$ в числитель.

$S_{5} = \frac{- 1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

Этап 16.2

Вынесем множитель $3$ из $- 1023$ .

$S_{5} = \frac{3 (- 341)}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

Этап 16.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Этап 16.4

Сократим общий множитель.

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Этап 16.5

Перепишем это выражение.

$S_{5} = \frac{- 341}{256} \cdot \frac{1}{- 1}$

Этап 17

Умножим $\frac{- 341}{256}$ на $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 341}{256 \cdot - 1}$

Этап 18

Умножим $256$ на $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 341}{- 256}$

Этап 19

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{5} = \frac{341}{256}$