Основы мат. анализа Примеры

$\frac{t + 4}{t} + \frac{3}{t - 4} = \frac{- 16}{t^{2} - 4 t}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} - 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{t + 4}{t} + \frac{3}{t - 4} = \frac{- 16}{t \cdot t - 4 t}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $t$ из $- 4 t$ .

$\frac{t + 4}{t} + \frac{3}{t - 4} = \frac{- 16}{t \cdot t + t \cdot - 4}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot - 4$ .

$\frac{t + 4}{t} + \frac{3}{t - 4} = \frac{- 16}{t (t - 4)}$

Этап 1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{t + 4}{t} + \frac{3}{t - 4} = - \frac{16}{t (t - 4)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$t, t - 4, t (t - 4)$

Этап 2.2

Поскольку $t, t - 4, t (t - 4)$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $t, t - 4, t (t - 4)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $t^{1}, t^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $t - 4, t - 4$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $t^{1}$ является само значение $t$ .

$t^{1} = t$

$t$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $t^{1}, t^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$t$

Этап 2.8

Множителем $t - 4$ является само значение $t - 4$ .

$(t - 4) = t - 4$

$(t - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $t - 4, t - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$t - 4$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$t (t - 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{t + 4}{t} + \frac{3}{t - 4} = - \frac{16}{t (t - 4)}$ умножим на $t (t - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{t + 4}{t} + \frac{3}{t - 4} = - \frac{16}{t (t - 4)}$ на $t (t - 4)$ .

$\frac{t + 4}{t} (t (t - 4)) + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t + 4}{t} (t (t - 4)) + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(t + 4) (t - 4) + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(t + 4) (t - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t (t - 4) + 4 (t - 4) + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 (t - 4) + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4 + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.3

Объединим противоположные члены в $t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $t \cdot - 4$ и $4 t$ .

$t \cdot t - 4 t + 4 t + 4 \cdot - 4 + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $- 4 t$ и $4 t$ .

$t \cdot t + 0 + 4 \cdot - 4 + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.3.3

Добавим $t \cdot t$ и $0$ .

$t \cdot t + 4 \cdot - 4 + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Умножим $t$ на $t$ .

$t^{2} + 4 \cdot - 4 + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.4.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$t^{2} - 16 + \frac{3}{t - 4} (t (t - 4)) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $t - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $t - 4$ из $t (t - 4)$ .

$t^{2} - 16 + \frac{3}{t - 4} ((t - 4) t) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$t^{2} - 16 + \frac{3}{t - 4} ((t - 4) t) = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$t^{2} - 16 + 3 t = - \frac{16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $t (t - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{16}{t (t - 4)}$ в числитель.

$t^{2} - 16 + 3 t = \frac{- 16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$t^{2} - 16 + 3 t = \frac{- 16}{t (t - 4)} (t (t - 4))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$t^{2} - 16 + 3 t = - 16$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$t^{2} - 16 + 3 t + 16 = 0$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $t^{2} - 16 + 3 t + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 16$ и $16$ .

$t^{2} + 3 t + 0 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $t^{2} + 3 t$ и $0$ .

$t^{2} + 3 t = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} + 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$t \cdot t + 3 t = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $t$ из $3 t$ .

$t \cdot t + t \cdot 3 = 0$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot 3$ .

$t (t + 3) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$t + 3 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 4.6

Приравняем $t + 3$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $t + 3$ к $0$ .

$t + 3 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$t = - 3$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $t (t + 3) = 0$ верно.

$t = 0, - 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{t + 4}{t} + \frac{3}{t - 4} = \frac{- 16}{t^{2} - 4 t}$ истинным.

$t = - 3$