Основы мат. анализа Примеры

$3 y + 2 = \sqrt{y^{2} + 10 y + 7}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{y^{2} + 10 y + 7} = 3 y + 2$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y^{2} + 10 y + 7}}^{2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{2} + 10 y + 7}$ в виде ${(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y^{2} + 10 y + 7)}^{1} = {(3 y + 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$y^{2} + 10 y + 7 = {(3 y + 2)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(3 y + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(3 y + 2)}^{2}$ в виде $(3 y + 2) (3 y + 2)$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = (3 y + 2) (3 y + 2)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(3 y + 2) (3 y + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 y (3 y + 2) + 2 (3 y + 2)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y + 2)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 6 y + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 6 y + 6 y + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 6 y + 6 y + 4$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $6 y$ и $6 y$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 12 y + 4$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $9 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 10 y + 7 - 9 y^{2} = 12 y + 4$

Этап 4.1.2

Вычтем $12 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 10 y + 7 - 9 y^{2} - 12 y = 4$

Этап 4.1.3

Вычтем $9 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$- 8 y^{2} + 10 y + 7 - 12 y = 4$

Этап 4.1.4

Вычтем $12 y$ из $10 y$ .

$- 8 y^{2} - 2 y + 7 = 4$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 8 y^{2} - 2 y + 7 - 4 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $4$ из $7$ .

$- 8 y^{2} - 2 y + 3 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 y^{2} - 2 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 y^{2}$ .

$- (8 y^{2}) - 2 y + 3 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$- (8 y^{2}) - (2 y) + 3 = 0$

Этап 4.4.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (8 y^{2}) - (2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 y^{2}) - (2 y)$ .

$- (8 y^{2} + 2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 y^{2} + 2 y) - 1 (- 3)$ .

$- (8 y^{2} + 2 y - 3) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot - 3 = - 24$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$- (8 y^{2} + 2 (y) - 3) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.2

Запишем $2$ как $- 4$ плюс $6$

$- (8 y^{2} + (- 4 + 6) y - 3) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (8 y^{2} - 4 y + 6 y - 3) = 0$

Этап 4.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((8 y^{2} - 4 y) + 6 y - 3) = 0$

Этап 4.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (4 y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1)) = 0$

Этап 4.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y - 1$ .

$- ((2 y - 1) (4 y + 3)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (2 y - 1) (4 y + 3) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y + 3 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $2 y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $2 y - 1$ к $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $2 y - 1 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y = 1$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $2 y = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 y = 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 4.7

Приравняем $4 y + 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $4 y + 3$ к $0$ .

$4 y + 3 = 0$

Этап 4.7.2

Решим $4 y + 3 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 y = - 3$

Этап 4.7.2.2

Разделим каждый член $4 y = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Разделим каждый член $4 y = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.7.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{4}$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 y - 1) (4 y + 3) = 0$ верно.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{3}{4}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $3 y + 2 = \sqrt{y^{2} + 10 y + 7}$ истинным.

$y = \frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$y = 0.5$