Основы мат. анализа Примеры

$\ln (3 y + 5) - \ln (y - 1) = \ln (- 4 y + 10)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3 y + 5}{y - 1}) = \ln (- 4 y + 10)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 1$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ умножим на $y - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ на $y - 1$ .

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y + 5 = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 5 = - 4 y \cdot y - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$3 y + 5 = - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y + 10 \cdot - 1$

Этап 3.2.3.1.5

Умножим $10$ на $- 1$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y - 10$

Этап 3.2.3.2

Добавим $4 y$ и $10 y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 14 y - 10$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 = 3 y + 5$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 - 3 y = 5$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $3 y$ из $14 y$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 = 5$

Этап 3.3.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 - 5 = 0$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $5$ из $- 10$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 15 = 0$

Этап 3.3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3.5

Подставим значения $a = - 4$ , $b = 11$ и $c = - 15$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 4 \cdot - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 16 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.6.1.2.2

Умножим $16$ на $- 15$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 240}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.6.1.3

Вычтем $240$ из $121$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.6.1.4

Перепишем $- 119$ в виде $- 1 (119)$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (119)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$

Этап 3.3.6.3

Упростим $\frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$ .

$y = \frac{11 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Этап 3.3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{11 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{11 - i \sqrt{119}}{8}$