Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{7 y^{2} + 15 y} - 2 y = 5 + y$

Этап 1

Перенесем все члены без $\sqrt{7 y^{2} + 15 y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{7 y^{2} + 15 y} = 5 + y + 2 y$

Этап 1.2

Добавим $y$ и $2 y$ .

$\sqrt{7 y^{2} + 15 y} = 5 + 3 y$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{7 y^{2} + 15 y}}^{2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 y^{2} + 15 y}$ в виде ${(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(7 y^{2} + 15 y)}^{1} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$7 y^{2} + 15 y = {(5 + 3 y)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(5 + 3 y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(5 + 3 y)}^{2}$ в виде $(5 + 3 y) (5 + 3 y)$ .

$7 y^{2} + 15 y = (5 + 3 y) (5 + 3 y)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(5 + 3 y) (5 + 3 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 y^{2} + 15 y = 5 (5 + 3 y) + 3 y (5 + 3 y)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 y^{2} + 15 y = 5 \cdot 5 + 5 (3 y) + 3 y (5 + 3 y)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 y^{2} + 15 y = 5 \cdot 5 + 5 (3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (3 y)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 5 (3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (3 y)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 3 y \cdot 5 + 3 y (3 y)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $5$ на $3$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 y (3 y)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 \cdot 3 y \cdot y$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 \cdot 3 (y \cdot y)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 \cdot 3 y^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 9 y^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $15 y$ и $15 y$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 30 y + 9 y^{2}$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $30 y$ из обеих частей уравнения.

$7 y^{2} + 15 y - 30 y = 25 + 9 y^{2}$

Этап 4.1.2

Вычтем $9 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$7 y^{2} + 15 y - 30 y - 9 y^{2} = 25$

Этап 4.1.3

Вычтем $9 y^{2}$ из $7 y^{2}$ .

$- 2 y^{2} + 15 y - 30 y = 25$

Этап 4.1.4

Вычтем $30 y$ из $15 y$ .

$- 2 y^{2} - 15 y = 25$

Этап 4.2

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y^{2} - 15 y - 25 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{2} - 15 y - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{2}$ .

$- (2 y^{2}) - 15 y - 25 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 15 y$ .

$- (2 y^{2}) - (15 y) - 25 = 0$

Этап 4.3.1.3

Перепишем $- 25$ в виде $- 1 (25)$ .

$- (2 y^{2}) - (15 y) - 1 \cdot 25 = 0$

Этап 4.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{2}) - (15 y)$ .

$- (2 y^{2} + 15 y) - 1 \cdot 25 = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{2} + 15 y) - 1 (25)$ .

$- (2 y^{2} + 15 y + 25) = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ , а сумма — $b = 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $15$ из $15 y$ .

$- (2 y^{2} + 15 (y) + 25) = 0$

Этап 4.3.2.1.1.2

Запишем $15$ как $5$ плюс $10$

$- (2 y^{2} + (5 + 10) y + 25) = 0$

Этап 4.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 y^{2} + 5 y + 10 y + 25) = 0$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((2 y^{2} + 5 y) + 10 y + 25) = 0$

Этап 4.3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (y (2 y + 5) + 5 (2 y + 5)) = 0$

Этап 4.3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y + 5$ .

$- ((2 y + 5) (y + 5)) = 0$

Этап 4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (2 y + 5) (y + 5) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 y + 5 = 0$

$y + 5 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $2 y + 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $2 y + 5$ к $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $2 y + 5 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 y = - 5$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $2 y = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 y = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 4.6

Приравняем $y + 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $y + 5$ к $0$ .

$y + 5 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y = - 5$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 y + 5) (y + 5) = 0$ верно.

$y = - \frac{5}{2}, - 5$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{7 y^{2} + 15 y} - 2 y = 5 + y$ истинным.

$Нет решения$