Основы мат. анализа Примеры

$5.2 = 1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 4.3$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 4.3 = 5.2$ .

$1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 4.3 = 5.2$

Этап 2

Перенесем все члены без $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $4.3$ из обеих частей уравнения.

$1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 5.2 - 4.3$

Этап 2.2

Вычтем $4.3$ из $5.2$ .

$1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 0.9$

Этап 3

Разделим каждый член $1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 0.9$ на $1.5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 0.9$ на $1.5$ .

$\frac{1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t)}{1.5} = \frac{0.9}{1.5}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $1.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t)}{1.5} = \frac{0.9}{1.5}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ на $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{365} t) = \frac{0.9}{1.5}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $0.9$ на $1.5$ .

$\cos (\frac{2 π}{365} t) = 0.6$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$\frac{2 π}{365} t = \arccos (0.6)$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{2 π}{365}$ и $t$ .

$\frac{2 π t}{365} = \arccos (0.6)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\arccos (0.6)$ .

$\frac{2 π t}{365} = 0.92729521$

Этап 7

Умножим обе части уравнения на $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Этап 8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Сократим общий множитель $365$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Этап 8.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Этап 8.1.1.2

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 π$ из $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Этап 8.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Этап 8.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $\frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $\frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Объединим $\frac{365}{2 π}$ и $0.92729521$ .

$t = \frac{365 \cdot 0.92729521}{2 π}$

Этап 8.2.1.1.2

Умножим $365$ на $0.92729521$ .

$t = \frac{338.46275457}{2 π}$

Этап 8.2.1.2

Заменим $π$ приближением.

$t = \frac{338.46275457}{2 \cdot 3.14159265}$

Этап 8.2.1.3

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$t = \frac{338.46275457}{6.2831853}$

Этап 8.2.1.4

Разделим $338.46275457$ на $6.2831853$ .

$t = 53.86802044$

Этап 9

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{2 π t}{365} = 2 (3.14159265) - 0.92729521$

Этап 10

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Этап 10.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Упростим $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Сократим общий множитель $365$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Этап 10.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Этап 10.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 π$ из $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Этап 10.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Этап 10.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Этап 10.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим $\frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$t = \frac{365}{2 π} (6.2831853 - 0.92729521)$

Этап 10.2.2.1.2

Вычтем $0.92729521$ из $6.2831853$ .

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 5.35589008$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $\frac{365}{2 π} \cdot 5.35589008$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.3.1

Объединим $\frac{365}{2 π}$ и $5.35589008$ .

$t = \frac{365 \cdot 5.35589008}{2 π}$

Этап 10.2.2.1.3.2

Умножим $365$ на $5.35589008$ .

$t = \frac{1954.89988254}{2 π}$

Этап 10.2.2.1.4

Заменим $π$ приближением.

$t = \frac{1954.89988254}{2 \cdot 3.14159265}$

Этап 10.2.2.1.5

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$t = \frac{1954.89988254}{6.2831853}$

Этап 10.2.2.1.6

Разделим $1954.89988254$ на $6.2831853$ .

$t = 311.13197955$

Этап 11

Найдем период $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.2

Заменим $b$ на $\frac{2 π}{365}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{365} |}$

Этап 11.3

$\frac{2 π}{365}$ приблизительно равно $0.0172142$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{365}}$

Этап 11.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Этап 11.5

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Этап 11.5.2

Перепишем это выражение.

$365$

Этап 12

Период функции $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ равен $365$ . Поэтому значения повторяются через каждые $365$ рад. в обоих направлениях.

$t = 53.86802044 + 365 n, 311.13197955 + 365 n$ , для любого целого $n$