Основы мат. анализа Примеры

$\frac{7 x + 3}{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{7 x + 3}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{7 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$\frac{7 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3}$

Этап 1.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{7 x + 3}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3}$

Этап 1.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ .

$\frac{7 x + 3}{x (x^{2} - 2 x - 3)}$

Этап 1.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 1.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{7 x + 3}{x ((x - 3) (x + 1))}$

Этап 1.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{7 x + 3}{x (x - 3) (x + 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{(7 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(7 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(7 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.7.2

Разделим $7 x + 3$ на $1$ .

$7 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$7 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.1.2

Разделим $A ((x - 3) (x + 1))$ на $1$ .

$7 x + 3 = A ((x - 3) (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.2

Развернем $(x - 3) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 3 = A (x (x + 1) - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x + 3 = A (x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$7 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.3.1.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$7 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.3.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$7 x + 3 = A (x^{2} - 2 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 3 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.5.2

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.6

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.1

Сократим общий множитель.

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.6.2

Разделим $(B) (x (x + 1))$ на $1$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + (B) (x (x + 1)) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.7

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.8

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.9

Умножим $x$ на $1$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.10

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.11

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.1

Сократим общий множитель.

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{C (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.11.2

Разделим $(C) (x (x - 3))$ на $1$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + (C) (x (x - 3))$

Этап 1.8.12

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Этап 1.8.13

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

Этап 1.8.14

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

Этап 1.8.15

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

Этап 1.8.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Этап 1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перенесем $A$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Этап 1.9.2

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Этап 1.9.3

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Этап 1.9.4

Перенесем $- 3 A$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x - 3 A$

Этап 1.9.5

Перенесем $B x$ .

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + C x^{2} + B x - 3 C x - 3 A$

Этап 1.9.6

Перенесем $- 2 x A$ .

$7 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - 3 C x - 3 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$7 = - 2 A + B - 3 C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = - 3 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $3 = - 3 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 A = 3$ .

$- 3 A = 3$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 3 A = 3$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 3 A = 3$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $3$ на $- 3$ .

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B + C$ на $- 1$ .

$0 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $7 = - 2 A + B - 3 C$ на $- 1$ .

$7 = - 2 \cdot - 1 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$7 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$7 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$7 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $7 = 2 + B - 3 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 + B - 3 C = 7$ .

$2 + B - 3 C = 7$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$B - 3 C = 7 - 2$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $3 C$ к обеим частям уравнения.

$B = 7 - 2 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $2$ из $7$ .

$B = 5 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $5 + 3 C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = - 1 + B + C$ на $5 + 3 C$ .

$0 = - 1 + 5 + 3 C + C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.4.2

Упростим $0 = - 1 + 5 + 3 C + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 1 + 5 + 3 C + C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 5 + 3 C + C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим $- 1 + 5 + 3 C + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Добавим $- 1$ и $5$ .

$0 = 4 + 3 C + C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.4.2.2.1.2

Добавим $3 C$ и $C$ .

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.5

Решим относительно $C$ в $0 = 4 + 4 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $4 + 4 C = 0$ .

$4 + 4 C = 0$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$4 C = - 4$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $4 C = - 4$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $4 C = - 4$ на $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $- 4$ на $4$ .

$C = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $C$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = 5 + 3 C$ на $- 1$ .

$B = 5 + 3 (- 1)$

$C = - 1$

$A = - 1$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $5 + 3 (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$B = 5 - 3$

$C = - 1$

$A = - 1$

Этап 3.6.2.1.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - 1$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$B = 2, C = - 1, A = - 1$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 3} + \frac{- 1}{x + 1}$