Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5 x^{3} + 32 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 6}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{(5 x^{3} + 32 x - 4) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x^{3} + 32 x - 4) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Этап 1.4.2

Разделим $5 x^{3} + 32 x - 4$ на $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A x + B$ на $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 6)}^{2}$ и $x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 6$ из $(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{x^{2} + 6}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 6)}{1}$

Этап 1.5.2.2.4

Разделим $(C x + D) (x^{2} + 6)$ на $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 6)$

Этап 1.5.3

Развернем $(C x + D) (x^{2} + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x (x^{2} + 6) + D (x^{2} + 6)$

Этап 1.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 6 + D (x^{2} + 6)$

Этап 1.5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Этап 1.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Этап 1.5.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Этап 1.5.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Этап 1.5.4.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Этап 1.5.4.2

Перенесем $6$ влево от $C x$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + 6 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 6$

Этап 1.5.4.3

Перенесем $6$ влево от $D$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + 6 C x + D x^{2} + 6 D$

Этап 1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $B$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + C x^{3} + 6 C x + D x^{2} + B + 6 D$

Этап 1.6.2

Перенесем $6 C x$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 6 C x + B + 6 D$

Этап 1.6.3

Перенесем $A x$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 6 C x + B + 6 D$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = D$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$32 = A + 6 C$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 4 = B + 6 D$

Этап 2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = C$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

$5 = C$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 5$ .

$C = 5$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $C$ на $5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем уравнение в виде $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 5$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

Этап 3.2.2

Заменим все вхождения $C$ в $32 = A + 6 C$ на $5$ .

$32 = A + 6 (5)$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $6$ на $5$ .

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $D$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + 30 = 32$ .

$A + 30 = 32$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$A = 32 - 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $30$ из $32$ .

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $D$ в $- 4 = B + 6 D$ на $0$ .

$- 4 = B + 6 (0)$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Этап 3.3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим $B + 6 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$- 4 = B + 0$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Этап 3.3.4.1.2

Добавим $B$ и $0$ .

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Этап 3.4

Перепишем уравнение в виде $B = - 4$ .

$B = - 4$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Этап 3.5

Решим систему уравнений.

$B = - 4 A = 2 D = 0 C = 5$

Этап 3.6

Перечислим все решения.

$B = - 4, A = 2, D = 0, C = 5$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 6}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{5 x + 0}{x^{2} + 6}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $x$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(5) \cdot x + 0}{x^{2} + 6}$

Этап 5.2

Добавим $(5) \cdot x$ и $0$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{5 x}{x^{2} + 6}$