Основы мат. анализа Примеры

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x - 90 y + 153 = 0$

Этап 1

Вычтем $153$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x - 90 y = - 153$

Этап 2

Составим полный квадрат для $- 4 x^{2} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 2.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $576$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Этап 2.4.2.2

Добавим $0$ и $36$ .

$e = 36$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(x + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(x + 3)}^{2} + 36$

Этап 3

Подставим $- 4 {(x + 3)}^{2} + 36$ вместо $- 4 x^{2} - 24 x$ в уравнение $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x - 90 y = - 153$ .

$- 4 {(x + 3)}^{2} + 36 + 9 y^{2} - 90 y = - 153$

Этап 4

Перенесем $36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

$- 4 {(x + 3)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = - 153 - 36$

Этап 5

Составим полный квадрат для $9 y^{2} - 90 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 90$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 45}{9}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 45$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 5}{1}$

Этап 5.3.2.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$d = - 5$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $- 90$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $8100$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $225$ .

$e = 0 - 225$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $225$ из $0$ .

$e = - 225$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

Этап 6

Подставим $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ вместо $9 y^{2} - 90 y$ в уравнение $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x - 90 y = - 153$ .

$- 4 {(x + 3)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = - 153 - 36$

Этап 7

Перенесем $- 225$ в правую часть уравнения, прибавив $225$ к обеим частям.

$- 4 {(x + 3)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = - 153 - 36 + 225$

Этап 8

Упростим $- 153 - 36 + 225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $36$ из $- 153$ .

$- 4 {(x + 3)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = - 189 + 225$

Этап 8.2

Добавим $- 189$ и $225$ .

$- 4 {(x + 3)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 36$

Этап 9

Разделим каждый член на $36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{4 {(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 3)}^{2}}{9} = 1$