Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 18 y - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 18 y = 1$

Этап 2

Разделим обе части уравнения на $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$

Этап 3

Составим полный квадрат для $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{5}{2}$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $\frac{25}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Этап 4

Подставим ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ вместо $x^{2} - 5 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2}$

Этап 5

Перенесем $- \frac{25}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{25}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Этап 6

Составим полный квадрат для $y^{2} - 9 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Этап 6.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{9}{2}$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $\frac{81}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Этап 7

Подставим ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ вместо $y^{2} - 9 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Этап 8

Перенесем $- \frac{81}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{81}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$

Этап 9

Упростим $\frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25 + 81}{4}$

Этап 9.2

Добавим $25$ и $81$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{106}{4}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $106$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $106$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 (53)}{4}$

Этап 9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{53}{2}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1 + 53}{2}$

Этап 9.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Добавим $1$ и $53$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{54}{2}$

Этап 9.5.2

Разделим $54$ на $2$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 27$