Основы мат. анализа Примеры

$- 16 y + 52 = - 2 x^{2} - 8 x - y^{2}$

Этап 1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $2 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 16 y + 52 + 2 x^{2} = - 8 x - y^{2}$

Этап 1.2

Добавим $8 x$ к обеим частям уравнения.

$- 16 y + 52 + 2 x^{2} + 8 x = - y^{2}$

Этап 1.3

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 16 y + 52 + 2 x^{2} + 8 x + y^{2} = 0$

Этап 1.4

Перенесем $52$ .

$- 16 y + 2 x^{2} + 8 x + y^{2} + 52 = 0$

Этап 1.5

Перенесем $- 16 y$ .

$2 x^{2} + 8 x + y^{2} - 16 y + 52 = 0$

Этап 1.6

Перенесем $8 x$ .

$2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 16 y + 52 = 0$

Этап 2

Вычтем $52$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 16 y = - 52$

Этап 3

Составим полный квадрат для $2 x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (2)}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{2}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 3.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{8}$

Этап 3.4.2.1.3

Разделим $64$ на $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 8$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$e = 0 - 8$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $8$ из $0$ .

$e = - 8$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x + 2)}^{2} - 8$ .

$2 {(x + 2)}^{2} - 8$

Этап 4

Подставим $2 {(x + 2)}^{2} - 8$ вместо $2 x^{2} + 8 x$ в уравнение $2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 16 y = - 52$ .

$2 {(x + 2)}^{2} - 8 + y^{2} - 16 y = - 52$

Этап 5

Перенесем $- 8$ в правую часть уравнения, прибавив $8$ к обеим частям.

$2 {(x + 2)}^{2} + y^{2} - 16 y = - 52 + 8$

Этап 6

Составим полный квадрат для $y^{2} - 16 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 16$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 8}{1}$

Этап 6.3.2.2.4

Разделим $- 8$ на $1$ .

$d = - 8$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Этап 6.4.2.1.3

Разделим $256$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Этап 6.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$e = 0 - 64$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$e = - 64$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 8)}^{2} - 64$ .

${(y - 8)}^{2} - 64$

Этап 7

Подставим ${(y - 8)}^{2} - 64$ вместо $y^{2} - 16 y$ в уравнение $2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 16 y = - 52$ .

$2 {(x + 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} - 64 = - 52 + 8$

Этап 8

Перенесем $- 64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

$2 {(x + 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 52 + 8 + 64$

Этап 9

Упростим $- 52 + 8 + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $- 52$ и $8$ .

$2 {(x + 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 44 + 64$

Этап 9.2

Добавим $- 44$ и $64$ .

$2 {(x + 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 20$

Этап 10

Разделим каждый член на $20$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{2 {(x + 2)}^{2}}{20} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

Этап 11

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{10} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{20} = 1$