Основы мат. анализа Примеры

$5 x^{2} - 6 x y + 5 y^{2} - 12 = 0$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = 5$ , $b = - 6 x$ и $c = 5 x^{2} - 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6 x)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6 x)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.2

Пусть $u = 5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ . Подставим $u$ вместо $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Применим правило умножения к $- 6 x$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.2.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{36 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 x^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - u)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 \cdot (5 x^{2} - 12)))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 (5 x^{2}) + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.5.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.5.1.3

Умножим $5$ на $- 12$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} - 60))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.5.1.5

Умножим $25$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 60$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.5.2

Вычтем $25 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (- 16 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.6

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2} + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 4 (15))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2}) + 4 (15)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 \cdot (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{16 (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.8

Перепишем $16 (- 4 x^{2} + 15)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 x \pm 2^{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$

Этап 1.3.3

Упростим $\frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$ .

$y = \frac{3 x \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6 x)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.2

Пусть $u = 5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ . Подставим $u$ вместо $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Применим правило умножения к $- 6 x$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.2.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{36 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 x^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - u)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 \cdot (5 x^{2} - 12)))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 (5 x^{2}) + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.5.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.5.1.3

Умножим $5$ на $- 12$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} - 60))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.5.1.5

Умножим $25$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 60$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.5.2

Вычтем $25 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (- 16 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.6

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2} + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 4 (15))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2}) + 4 (15)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 \cdot (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{16 (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.8

Перепишем $16 (- 4 x^{2} + 15)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 x \pm 2^{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$ .

$y = \frac{3 x \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Этап 1.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{3 x + 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6 x)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.2

Пусть $u = 5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ . Подставим $u$ вместо $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.2.1

Применим правило умножения к $- 6 x$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.2.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{36 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 x^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - u)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 \cdot (5 x^{2} - 12)))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 (5 x^{2}) + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.5.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.5.1.3

Умножим $5$ на $- 12$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} - 60))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.5.1.5

Умножим $25$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 60$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.5.2

Вычтем $25 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (- 16 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.6

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2} + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 4 (15))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2}) + 4 (15)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 \cdot (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{16 (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.8

Перепишем $16 (- 4 x^{2} + 15)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 x \pm 2^{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$ .

$y = \frac{3 x \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{3 x + 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x + 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Этап 2

Чтобы записать многочлен в стандартной форме, упростим его, а затем расположим члены в порядке убывания.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{3 x + 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$ на две дроби.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Этап 4

Разобьем дробь $\frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$ на две дроби.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Этап 6

Изменим порядок членов.

$y = \frac{3}{5} x + \frac{2}{5} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 15}$

$y = \frac{3}{5} x - (\frac{2}{5} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 15})$

Этап 7

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3}{5} x + \frac{2}{5} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 15}$

$y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 15}$

Этап 8