Основы мат. анализа Примеры

$4 y^{2} + x - 32 y + 68 = 0$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 32$ и $c = x + 68$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (x + 68))}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведем $- 32$ в степень $2$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 4 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 16 \cdot 68}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 16$ на $68$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 1088}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.5

Вычтем $1088$ из $1024$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{- 16 x - 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.6

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) - 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.6.2

Вынесем множитель $16$ из $- 64$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (- 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.6.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (- x) + 16 (- 4)$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.7

Перепишем $16 (- x - 4)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (- x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.7.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{4^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{32 \pm 2^{2} \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$

Этап 1.3.3

Упростим $\frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $- 32$ в степень $2$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 4 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 16 \cdot 68}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- 16$ на $68$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 1088}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.5

Вычтем $1088$ из $1024$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{- 16 x - 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.6

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) - 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.6.2

Вынесем множитель $16$ из $- 64$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (- 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.6.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (- x) + 16 (- 4)$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.7

Перепишем $16 (- x - 4)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (- x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.7.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{4^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{32 \pm 2^{2} \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 1.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{8 + \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $- 32$ в степень $2$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 4 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 16 \cdot 68}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.4

Умножим $- 16$ на $68$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 1088}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.5

Вычтем $1088$ из $1024$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{- 16 x - 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.6

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) - 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.6.2

Вынесем множитель $16$ из $- 64$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (- 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.6.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (- x) + 16 (- 4)$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.7

Перепишем $16 (- x - 4)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (- x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.7.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{4^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{32 \pm 2^{2} \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{8 + \sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 + \sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 2

Чтобы записать многочлен в стандартной форме, упростим его, а затем расположим члены в порядке убывания.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{8 + \sqrt{- x - 4}}{2}$ на две дроби.

$y = \frac{8}{2} + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 4

Разделим $8$ на $2$ .

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 5

Разобьем дробь $\frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$ на две дроби.

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8}{2} + \frac{- \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим $8$ на $2$ .

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = 4 + \frac{- \sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = 4 - \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = 4 - \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$y = 4 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- x - 4}$

$y = 4 - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- x - 4})$

Этап 8

Избавимся от скобок.

$y = 4 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- x - 4}$

$y = 4 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- x - 4}$

Этап 9