Основы мат. анализа Примеры

${(a - \sqrt{2})}^{8}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

$1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(a - \sqrt{2})}^{8}$ $n = 8$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $9$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$ .

$1 a^{8} b^{0} + 8 a^{7} b + 28 a^{6} b^{2} + 56 a^{5} b^{3} + 70 a^{4} b^{4} + 56 a^{3} b^{5} + 28 a^{2} b^{6} + 8 a b^{7} + 1 a^{0} b^{8}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $a$ и $b$ $- 1.41421356$ в выражение.

$1 {(a)}^{8} {(- 1.41421356)}^{0} + 8 {(a)}^{7} {(- 1.41421356)}^{1} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(a)}^{8}$ на $1$ .

${(a)}^{8} {(- 1.41421356)}^{0} + 8 {(a)}^{7} {(- 1.41421356)}^{1} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a^{8} \cdot 1 + 8 {(a)}^{7} {(- 1.41421356)}^{1} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.3

Умножим $a^{8}$ на $1$ .

$a^{8} + 8 {(a)}^{7} {(- 1.41421356)}^{1} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.4

Найдем экспоненту.

$a^{8} + 8 a^{7} \cdot - 1.41421356 + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.5

Умножим $- 1.41421356$ на $8$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.6

Возведем $- 1.41421356$ в степень $2$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 28 a^{6} \cdot 2 + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.7

Умножим $2$ на $28$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.8

Возведем $- 1.41421356$ в степень $3$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} + 56 a^{5} \cdot - 2.82842712 + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.9

Умножим $- 2.82842712$ на $56$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.10

Возведем $- 1.41421356$ в степень $4$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 70 a^{4} \cdot 4 + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.11

Умножим $4$ на $70$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.12

Возведем $- 1.41421356$ в степень $5$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} + 56 a^{3} \cdot - 5.65685424 + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.13

Умножим $- 5.65685424$ на $56$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.14

Возведем $- 1.41421356$ в степень $6$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 28 a^{2} \cdot 8 + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.15

Умножим $8$ на $28$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.16

Упростим.

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} + 8 a {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.17

Возведем $- 1.41421356$ в степень $7$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} + 8 a \cdot - 11.31370849 + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.18

Умножим $- 11.31370849$ на $8$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.19

Умножим ${(a)}^{0}$ на $1$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.20

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + 1 {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.21

Умножим ${(- 1.41421356)}^{8}$ на $1$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + {(- 1.41421356)}^{8}$

Этап 4.22

Возведем $- 1.41421356$ в степень $8$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + 16$