Основы мат. анализа Примеры

${(2 x + 5)}^{4}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(2 x + 5)}^{4}$ $n = 4$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $5$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $2 x$ и $b$ $5$ в выражение.

$1 {(2 x)}^{4} {(5)}^{0} + 4 {(2 x)}^{3} {(5)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 x)}^{4}$ на $1$ .

${(2 x)}^{4} {(5)}^{0} + 4 {(2 x)}^{3} {(5)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2^{4} x^{4} {(5)}^{0} + 4 {(2 x)}^{3} {(5)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 x^{4} {(5)}^{0} + 4 {(2 x)}^{3} {(5)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 x^{4} \cdot 1 + 4 {(2 x)}^{3} {(5)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.5

Умножим $16$ на $1$ .

$16 x^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(5)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.6

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 4 (2^{3} x^{3}) {(5)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 x^{4} + 4 (8 x^{3}) {(5)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.8

Умножим $8$ на $4$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} {(5)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.9

Найдем экспоненту.

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot 5 + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.10

Умножим $5$ на $32$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 6 {(2 x)}^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 6 (2^{2} x^{2}) {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 6 (4 x^{2}) {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.13

Умножим $4$ на $6$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 24 x^{2} {(5)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.14

Возведем $5$ в степень $2$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 24 x^{2} \cdot 25 + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.15

Умножим $25$ на $24$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.16

Упростим.

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 4 (2 x) {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.17

Умножим $2$ на $4$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 8 x {(5)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.18

Возведем $5$ в степень $3$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 8 x \cdot 125 + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.19

Умножим $125$ на $8$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 1000 x + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.20

Умножим ${(2 x)}^{0}$ на $1$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 1000 x + {(2 x)}^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.21

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 1000 x + 2^{0} x^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.22

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 1000 x + 1 x^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.23

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 1000 x + x^{0} {(5)}^{4}$

Этап 4.24

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 1000 x + 1 {(5)}^{4}$

Этап 4.25

Умножим ${(5)}^{4}$ на $1$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 1000 x + {(5)}^{4}$

Этап 4.26

Возведем $5$ в степень $4$ .

$16 x^{4} + 160 x^{3} + 600 x^{2} + 1000 x + 625$