Основы мат. анализа Примеры

${(2 x + 5 y)}^{5}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(2 x + 5 y)}^{5}$ $n = 5$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $6$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $2 x$ и $b$ $5 y$ в выражение.

$1 {(2 x)}^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 x)}^{5}$ на $1$ .

${(2 x)}^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2^{5} x^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $5$ .

$32 x^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $5 y$ .

$32 x^{5} (5^{0} y^{0}) + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 \cdot 5^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$32 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.7

Умножим $32$ на $1$ .

$32 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$32 x^{5} \cdot 1 + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.9

Умножим $32$ на $1$ .

$32 x^{5} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $2 x$ .

$32 x^{5} + 5 (2^{4} x^{4}) {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.11

Возведем $2$ в степень $4$ .

$32 x^{5} + 5 (16 x^{4}) {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.12

Умножим $16$ на $5$ .

$32 x^{5} + 80 x^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.13

Упростим.

$32 x^{5} + 80 x^{4} (5 y) + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 x^{5} + 80 \cdot 5 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.15

Умножим $80$ на $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $2 x$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 (2^{3} x^{3}) {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.17

Возведем $2$ в степень $3$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 (8 x^{3}) {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.18

Умножим $8$ на $10$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 x^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 x^{3} (5^{2} y^{2}) + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 \cdot 5^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.21

Возведем $5$ в степень $2$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 \cdot 25 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.22

Умножим $80$ на $25$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $2 x$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 (2^{2} x^{2}) {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.24

Возведем $2$ в степень $2$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 (4 x^{2}) {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.25

Умножим $4$ на $10$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.26

Применим правило умножения к $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} (5^{3} y^{3}) + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.27

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 5^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.28

Возведем $5$ в степень $3$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 125 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.29

Умножим $40$ на $125$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.30

Упростим.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 5 (2 x) {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.31

Умножим $2$ на $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 x {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.32

Применим правило умножения к $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 x (5^{4} y^{4}) + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.33

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 5^{4} x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.34

Возведем $5$ в степень $4$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 625 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.35

Умножим $10$ на $625$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.36

Умножим ${(2 x)}^{0}$ на $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.37

Применим правило умножения к $2 x$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 2^{0} x^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.38

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 x^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.39

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + x^{0} {(5 y)}^{5}$

Этап 4.40

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 {(5 y)}^{5}$

Этап 4.41

Умножим ${(5 y)}^{5}$ на $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + {(5 y)}^{5}$

Этап 4.42

Применим правило умножения к $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 5^{5} y^{5}$

Этап 4.43

Возведем $5$ в степень $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 3125 y^{5}$