Основы мат. анализа Примеры

${(- 1 - i)}^{7}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(- 1)}^{7} + 7 {(- 1)}^{6} (- i) + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$- 1 + 7 {(- 1)}^{6} (- i) + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.2

Умножим ${(- 1)}^{6}$ на $- 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем $- 1$ .

$- 1 + 7 (- {(- 1)}^{6}) i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$- 1 + 7 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{6}) i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 + 7 {(- 1)}^{1 + 6} i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.2.3

Добавим $1$ и $6$ .

$- 1 + 7 {(- 1)}^{7} i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$- 1 + 7 \cdot - 1 i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.4

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 {(- 1)}^{5} {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$- 1 - 7 i + 21 \cdot - 1 {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.6

Умножим $21$ на $- 1$ .

$- 1 - 7 i - 21 {(- i)}^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $- i$ .

$- 1 - 7 i - 21 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 7 i - 21 (1 i^{2}) + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.9

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$- 1 - 7 i - 21 i^{2} + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.10

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 - 7 i - 21 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.11

Умножим $- 21$ на $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 {(- 1)}^{4} {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.13

Умножим $35$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 {(- i)}^{3} + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.14

Применим правило умножения к $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.15

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (- i^{3}) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.16

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (- (i^{2} \cdot i)) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.17

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (- (- 1 \cdot i)) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.18

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (- - i) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 (1 i) + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.20

Умножим $i$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i + 35 {(- 1)}^{3} {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.21

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i + 35 \cdot - 1 {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.22

Умножим $35$ на $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 {(- i)}^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.23

Применим правило умножения к $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.24

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 (1 i^{4}) + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.25

Умножим $i^{4}$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 i^{4} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.26

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 {(i^{2})}^{2} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.26.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 {(- 1)}^{2} + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.26.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 \cdot 1 + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.27

Умножим $- 35$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 {(- 1)}^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.28

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 \cdot 1 {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.29

Умножим $21$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 {(- i)}^{5} + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.30

Применим правило умножения к $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.31

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- i^{5}) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.32

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- (i^{4} i)) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.33

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.33.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.33.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.33.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- (1 i)) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.34

Умножим $i$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 + 21 (- i) + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.35

Умножим $- 1$ на $21$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 \cdot - 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.36

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.37

Применим правило умножения к $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 ({(- 1)}^{6} i^{6}) + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.38

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 (1 i^{6}) + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.39

Умножим $i^{6}$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 i^{6} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.40

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 (i^{4} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.41

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.41.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.41.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.41.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 (1 i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.42

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 i^{2} + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.43

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i - 7 \cdot - 1 + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.44

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 + {(- i)}^{7}$

Этап 2.1.45

Применим правило умножения к $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 + {(- 1)}^{7} i^{7}$

Этап 2.1.46

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - i^{7}$

Этап 2.1.47

Перепишем $i^{7}$ в виде $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.47.1

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (i^{4} i^{3})$

Этап 2.1.47.2

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Этап 2.1.48

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.48.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Этап 2.1.48.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Этап 2.1.48.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (1 (i^{2} \cdot i))$

Этап 2.1.49

Умножим $i^{2} \cdot i$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (i^{2} \cdot i)$

Этап 2.1.50

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - (- 1 \cdot i)$

Этап 2.1.51

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 - - i$

Этап 2.1.52

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 + 1 i$

Этап 2.1.53

Умножим $i$ на $1$ .

$- 1 - 7 i + 21 + 35 i - 35 - 21 i + 7 + i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $- 1$ и $21$ .

$20 - 7 i + 35 i - 35 - 21 i + 7 + i$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $35$ из $20$ .

$- 15 - 7 i + 35 i - 21 i + 7 + i$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 15$ и $7$ .

$- 8 - 7 i + 35 i - 21 i + i$

Этап 2.2.3

Добавим $- 7 i$ и $35 i$ .

$- 8 + 28 i - 21 i + i$

Этап 2.2.4

Вычтем $21 i$ из $28 i$ .

$- 8 + 7 i + i$

Этап 2.2.5

Добавим $7 i$ и $i$ .

$- 8 + 8 i$