Основы мат. анализа Примеры

${(1 - i)}^{5}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.6

Умножим $10$ на $1$ .

$1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.9

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.10

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.11

Умножим $10$ на $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.13

Умножим $10$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.14

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.15

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.16

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.17

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.18

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.20

Умножим $i$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.21

Умножим $5$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.22

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.23

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.24

Умножим $i^{4}$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.25

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.25.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.25.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.26

Умножим $5$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.27

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Этап 2.1.28

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5}$

Этап 2.1.29

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i)$

Этап 2.1.30

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.30.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i)$

Этап 2.1.30.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i)$

Этап 2.1.30.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i)$

Этап 2.1.31

Умножим $i$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $10$ из $1$ .

$- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i$

Этап 2.2.2

Добавим $- 9$ и $5$ .

$- 4 - 5 i + 10 i - i$

Этап 2.2.3

Добавим $- 5 i$ и $10 i$ .

$- 4 + 5 i - i$

Этап 2.2.4

Вычтем $i$ из $5 i$ .

$- 4 + 4 i$