Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x - 4}{x + 11} \geq \frac{1}{x - 1}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{x - 1}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x - 4}{x + 11}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 11) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x - 4}{x + 11}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x - 1) (x + 11)} \geq 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 11)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(x - 4) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $4 x$ из $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 1 \cdot 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.4

Умножим $- 1$ на $11$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.5

Вычтем $x$ из $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.6

Вычтем $11$ из $4$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 2.5.7

Разложим $x^{2} - 6 x - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $- 6$ .

$- 7, 1$

Этап 2.5.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x = - 11$

Этап 7

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = - 11$

$x = 1$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 7, - 1, - 11, 1$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 11) (x - 1) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 10.2.2

Приравняем $x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Приравняем $x + 11$ к $0$ .

$x + 11 = 0$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x = - 11$

Этап 10.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 10.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 10.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 11) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 11, 1$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 11) \cup (- 11, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 14$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 14$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 14) - 4}{(- 14) + 11} \geq \frac{1}{(- 14) - 1}$

Этап 12.1.3

Левая часть $6$ больше правой части $- 0.0\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 11 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 11 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 11} \geq \frac{1}{(- 6) - 1}$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $- 0.\overline{142857}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 11} \geq \frac{1}{(0) - 1}$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 0.\overline{36}$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) - 4}{(4) + 11} \geq \frac{1}{(4) - 1}$

Этап 12.4.3

Левая часть $0$ меньше правой части $0.\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.5

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 12.5.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{(10) - 4}{(10) + 11} \geq \frac{1}{(10) - 1}$

Этап 12.5.3

Левая часть $0.\overline{285714}$ больше правой части $0.\overline{1}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 11$ Истина

$- 11 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

$x < - 11$ Истина

$- 11 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 11$ или $- 1 \leq x < 1$ или $x \geq 7$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 11) \cup [- 1, 1) \cup [7, \infty)$

Этап 15