Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + x^{2} - 17 x + 15 \geq 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + x^{2} - 17 x + 15 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{3} + x^{2} - 17 x + 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Этап 2.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 1^{2} - 17 \cdot 1 + 15$

Этап 2.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 1^{2} - 17 \cdot 1 + 15$

Этап 2.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 1 - 17 \cdot 1 + 15$

Этап 2.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 - 17 \cdot 1 + 15$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 17$ на $1$ .

$2 - 17 + 15$

Этап 2.1.3.6

Вычтем $17$ из $2$ .

$- 15 + 15$

Этап 2.1.3.7

Добавим $- 15$ и $15$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 17 x + 15}{x - 1}$

Этап 2.1.5

Разделим $x^{3} + x^{2} - 17 x + 15$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$17 x$

$15$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x + 15$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$
							+	$15 x$	-	$15$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 2 x - 15$

Этап 2.1.6

Запишем $x^{3} + x^{2} - 17 x + 15$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Этап 2.2

Разложим $x^{2} + 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x - 3) (x + 5)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x - 3) (x + 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x - 3) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 1, 3, - 5$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{2} - 17 \cdot - 8 + 15 \geq 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 297$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 17 \cdot 0 + 15 \geq 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $15$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{3} + {(2)}^{2} - 17 \cdot 2 + 15 \geq 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 7$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{3} + {(6)}^{2} - 17 \cdot 6 + 15 \geq 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $165$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 1$ Истина

$1 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 1$ Истина

$1 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 \leq x \leq 1$ или $x \geq 3$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 5, 1] \cup [3, \infty)$

Этап 12