Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 9 > 6 x$

Этап 1

Вычтем $6 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} + 9 - 6 x > 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 9 - 6 x = 0$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переставляем члены.

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Этап 3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Этап 3.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 3.4

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 3$

$x > 3$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 9 > 6 (0)$

Этап 7.1.3

Левая часть $9$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} + 9 > 6 (6)$

Этап 7.2.3

Левая часть $45$ больше правой части $36$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 3$ Истина

$x > 3$ Истина

$x < 3$ Истина

$x > 3$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 3$ или $x > 3$

Этап 9

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 10