Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{3} - 15 x^{2} \leq 25 x$

Этап 1

Вычтем $25 x$ из обеих частей неравенства.

$4 x^{3} - 15 x^{2} - 25 x \leq 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{3} - 15 x^{2} - 25 x = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3} - 15 x^{2} - 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3}$ .

$x (4 x^{2}) - 15 x^{2} - 25 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 15 x^{2}$ .

$x (4 x^{2}) + x (- 15 x) - 25 x = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 25 x$ .

$x (4 x^{2}) + x (- 15 x) + x \cdot - 25 = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{2}) + x (- 15 x)$ .

$x (4 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 25 = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 25$ .

$x (4 x^{2} - 15 x - 25) = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 25 = - 100$ , а сумма — $b = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 15$ из $- 15 x$ .

$x (4 x^{2} - 15 x - 25) = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Запишем $- 15$ как $5$ плюс $- 20$

$x (4 x^{2} + (5 - 20) x - 25) = 0$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (4 x^{2} + 5 x - 20 x - 25) = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((4 x^{2} + 5 x) - 20 x - 25) = 0$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x (4 x + 5) - 5 (4 x + 5)) = 0$

Этап 3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 5$ .

$x ((4 x + 5) (x - 5)) = 0$

Этап 3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (4 x + 5) (x - 5) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $4 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 5$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{4}$

Этап 7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 x + 5) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{5}{4}, 5$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{5}{4}$

$- \frac{5}{4} < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2} \leq 25 (- 4)$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 496$ меньше правой части $- 100$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{4} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{4} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 1)}^{3} - 15 {(- 1)}^{2} \leq 25 (- 1)$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 19$ больше правой части $- 25$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$4 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2} \leq 25 (2)$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 28$ меньше правой части $50$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$4 {(8)}^{3} - 15 {(8)}^{2} \leq 25 (8)$

Этап 10.4.3

Левая часть $1088$ больше правой части $200$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{5}{4}$ Истина

$- \frac{5}{4} < x < 0$ Ложь

$0 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < - \frac{5}{4}$ Истина

$- \frac{5}{4} < x < 0$ Ложь

$0 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{5}{4}$ или $0 \leq x \leq 5$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - \frac{5}{4}] \cup [0, 5]$

Этап 13