Основы мат. анализа Примеры

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 128 y + 481 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $481$ из обеих частей уравнения.

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 128 y = - 481$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $25 x^{2} - 250 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 25$

$b = - 250$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 250}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 250$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 250$ .

$d = \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 125}{2 (25)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 125}{25}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 125$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 125$ .

$d = \frac{25 \cdot - 5}{25}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 5}{25 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{25 \cdot - 5}{25 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 5}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$d = - 5$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 250)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 250$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{100}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $62500$ на $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 625$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $625$ .

$e = 0 - 625$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $625$ из $0$ .

$e = - 625$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $25 {(x - 5)}^{2} - 625$ .

$25 {(x - 5)}^{2} - 625$

Этап 1.3

Подставим $25 {(x - 5)}^{2} - 625$ вместо $25 x^{2} - 250 x$ в уравнение $25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 128 y = - 481$ .

$25 {(x - 5)}^{2} - 625 + 16 y^{2} + 128 y = - 481$

Этап 1.4

Перенесем $- 625$ в правую часть уравнения, прибавив $625$ к обеим частям.

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 y^{2} + 128 y = - 481 + 625$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $16 y^{2} + 128 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 16$

$b = 128$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{128}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $128$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $128$ .

$d = \frac{2 \cdot 64}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 64}{2 (16)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 64}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{64}{16}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $64$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $64$ .

$d = \frac{16 \cdot 4}{16}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 4}{16 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{128^{2}}{4 \cdot 16}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $128$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{16384}{4 \cdot 16}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$e = 0 - \frac{16384}{64}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $16384$ на $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 256$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $256$ .

$e = 0 - 256$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $256$ из $0$ .

$e = - 256$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $16 {(y + 4)}^{2} - 256$ .

$16 {(y + 4)}^{2} - 256$

Этап 1.6

Подставим $16 {(y + 4)}^{2} - 256$ вместо $16 y^{2} + 128 y$ в уравнение $25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 128 y = - 481$ .

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 4)}^{2} - 256 = - 481 + 625$

Этап 1.7

Перенесем $- 256$ в правую часть уравнения, прибавив $256$ к обеим частям.

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 4)}^{2} = - 481 + 625 + 256$

Этап 1.8

Упростим $- 481 + 625 + 256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 481$ и $625$ .

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 4)}^{2} = 144 + 256$

Этап 1.8.2

Добавим $144$ и $256$ .

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 4)}^{2} = 400$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $400$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{25 {(x - 5)}^{2}}{400} + \frac{16 {(y + 4)}^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5$

$b = 4$

$k = - 4$

$h = 5$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(5, - 4)$

Этап 5