Основы мат. анализа Примеры

$y = 2 \sin (x + \frac{π}{2}) + 2$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 \sin (x + \frac{π}{2}) + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (x + \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x + \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (x + \frac{π}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x + \frac{π}{2})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + \frac{π}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + \frac{π}{2}$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x + \frac{π}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.5

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.7

Умножим $\cos (x + \frac{π}{2})$ на $1$ .

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $2 \cos (x + \frac{π}{2})$ и $0$ .

$2 \cos (x + \frac{π}{2})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x + \frac{π}{2})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x + \frac{π}{2}))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 (\sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x + \frac{π}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Этап 2.3.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2})$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $2 \cos (x + \frac{π}{2}) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 \cos (x + \frac{π}{2}) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x + \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x + \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (x + \frac{π}{2})$ на $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) = \frac{0}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π - π}{2}$

Этап 7.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 7.4

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 9.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 9.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

Этап 9.2.3

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{2}$

Этап 9.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$x = π$

Этап 10

Решение уравнения $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = 0, π$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $0$ и $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 12.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 13

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \sin ((0) + \frac{π}{2}) + 2$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Добавим $0$ и $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

Этап 14.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2$

Этап 14.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Этап 14.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f (0) = 4$

Этап 14.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 16.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Этап 16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$- 2 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Этап 16.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 16.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.6

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Этап 16.6.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2$

Этап 17

$x = π$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 2 \sin ((π) + \frac{π}{2}) + 2$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}) + 2$

Этап 18.2.1.2

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}) + 2$

Этап 18.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2}) + 2$

Этап 18.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2}) + 2$

Этап 18.2.1.4.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

Этап 18.2.1.5

$f (π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

Этап 18.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + 2$

Этап 18.2.1.7

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 2$

Этап 18.2.1.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 2$

Этап 18.2.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (π) = 0$

Этап 18.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{2}) + 2$ .

$(0, 4)$ — локальный максимум

$(π, 0)$ — локальный минимум

Этап 20