Основы мат. анализа Примеры

$y = x^{3} - 7$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = y^{3} - 7$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $y^{3} - 7 = x$ .

$y^{3} - 7 = x$

Этап 2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$y^{3} = x + 7$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{x + 7}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 7}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ обратной к $f (x) = x^{3} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (x^{3} - 7)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{(x^{3} - 7) + 7}$

Этап 4.2.3

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f^{- 1} (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Этап 4.2.4

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (x^{3} - 7) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{x + 7})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {(\sqrt[3]{x + 7})}^{3} - 7$

Этап 4.3.3

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 7}}^{3}$ в виде $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 7$

Этап 4.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 7$

Этап 4.3.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{3}{3}} - 7$

Этап 4.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{3}{3}} - 7$

Этап 4.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = (x + 7) - 7$

Этап 4.3.3.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 7 - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ — обратная к $f (x) = x^{3} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 7}$